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Filtrer : 2eme ordre passif – Exercice

Mots-clefs : Filtre passif Filtre 2eme ordre

Soit le montage suivant :

Q.1

Que vaut le courant \(I\) entrant dans la branche principale du circuit en fonction de \(V_E\) et des dipôles du circuit ?

Correction

On utilise la notation complexe en régime harmonique. L’ensemble des lois classiques sont utilisables (loi d’Ohm, loi des mailles…).

Ainsi, la loi des mailles donne : \(V_E – V_R – V_L – V_C = 0\)

où \(V_R\) est la différence de potentiel (ddp) aux bornes de la résistance, \(V_L\) la ddp aux bornes de l’inductance et \(V_C\) la ddp aux bornes du condensateur.

De plus, la loi d’Ohm s’appliquer pour chacune de ces tensions.

Ainsi : \(V_R = R \cdot I\), \(V_L = (j \cdot L \cdot \omega) \cdot I\), \(V_C = (\frac{1}{j \cdot C \cdot \omega}) \cdot I\).

On obtient alors que :

\(V_E = R \cdot I + (j \cdot L \cdot \omega) \cdot I + (\frac{1}{j \cdot C \cdot \omega}) \cdot I\)

On a alors :

\(I = \frac{V_E}{R + (j \cdot L \cdot \omega) + (\frac{1}{j \cdot C \cdot \omega})}\)

Qui peut s’écrire aussi :

\(I = V_E \cdot \frac{j \cdot C \cdot \omega}{1 + j \cdot R \cdot C \cdot \omega + (j^2 \cdot L \cdot C \cdot \omega^2)}\)

Q.2

Que vaut la différence de potentiel entre \(V_S\) et la masse en fonction de \(V_E\) et des dipôles du circuit ?

Correction

De la même manière que précédemment : \(V_C = (\frac{1}{j \cdot C \cdot \omega}) \cdot I\).

Et \(V_S = V_C\).

On a alors :

\(V_S = (\frac{1}{j \cdot C \cdot \omega}) \cdot I = V_E \cdot \frac{1}{1 + j \cdot R \cdot C \cdot \omega + (j^2 \cdot L \cdot C \cdot \omega^2)}\)

On retrouve le résultat d’un pont diviseur.

Q.3

Par une étude asymptotique rapide, quel est le type de filtre ainsi réalisé ?

Correction

Lorsqu’on fait tendre \(\omega\) vers 0, on obtient alors : \(V_S/V_E\) qui tend vers 1.

Lorsqu’on fait tendre \(\omega\) vers \(+\infty\), on obtient alors le dénominateur qui tend vers l’infini et donc \(V_S/V_E\) qui tend vers 0.

On retrouve alors le comportement d’un passe-bas.

Q.4

Identifier les paramètres \(A\), \(m\) et \(\omega_0\) de la forme canonique du filtre du second ordre associé (voir fiche : Filtrage Ordre 2).

Correction

La forme canonique d’un filtre passe-bas du second ordre est la suivante :

\(T(j \cdot \omega) = \frac{A}{1 + 2 \cdot m \cdot \frac{\omega}{\omega_0} + (j \cdot \frac{\omega}{\omega_0})^2}\)
Par identification, on retrouve : \(A = 1\) (filtre passif, pas d’amplification dans la bande passante), \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}}\) et \(m = 1/2 \cdot R \cdot \sqrt{\frac{C}{L}}\).

Q.5

Tracer l’évolution de \(V_S / V_E\) (fonction de transfert de ce système) en fonction de \(\omega\) pour \(R_1 = 1~\textrm{k}\Omega\), \(L_1 = 10~\textrm{mH}\) et \(C_1 = 1~\textrm{nF}\).

Correction

L’application numérique donne : \(\omega_0 = 316 \cdot 10^3~\textrm{rd/s}\) (soit \(f_0 = 50~\textrm{kHz}\)) et \(m = 0.16\).

On peut alors se servir d’un logiciel de calcul et d’affichage (type Matlab).

Script Matlab :

R = 1e3;    % 1kO
L = 10e-3;   % 1mH
C = 1e-9;   % 1uF
% Vecteur des pulsations de 10^3 à 10^8 sur 101 points
w = logspace(3,8,1001);
w0 = sqrt(1/L * 1/C)
m = 0.5 * R * sqrt(C/L)
% Filtre RLC / Vs sur C
T = 1 ./ (1 + 1j * 2 * m * w/w0 + (1j * w / w0).^2);
% Bode en échelle logarithmique
figure;
subplot(2,1,1);
semilogx(w, 20*log10(abs(T)));
ylabel('Gain (dB)');
subplot(2,1,2);
semilogx(w, angle(T));
ylabel('Phase rd');
xlabel('Pulsation rd/s');

On obtient alors le diagramme de Bode suivant :

On peut alors voir que dans la bande-passante (pour des pulsations inférieures à \(\omega_0\)) on obtient un gain de 0dB (ou une amplification de 1) et on obtient une pente de -40dB/décade hors bande-passante (pour des fréquences supérieures à \(\omega_0\)).

Pour vous aider…

| TD CéTI |

Système Electronique – Filtrer – 2nd ordre passif / Exercice