Mots-clefs : Amplificateur Linéaire Intégré Fonctionnement linéaire

Amplificateur Intégré Linéaire – Relation entrées/sortie

Question 1

Rappeler le lien entre la tension de sortie \(V_S\) et les tensions d’entrée \(V+\) et \(V-\) d’un ALI.

Correction

La relation est la suivante : \(V_S = A \cdot (V+ – V-)\) avec \(A\) l’amplification différentielle de l’ALI.

Vous pouvez retrouver cette information dans la fiche suivante : Amplificateur Linéaire Intégré

Dans la documentation technique de ces composants, on peut trouver la valeur de \(A\), qu’on appelle amplification différentielle. Elle est souvent supérieure à \(10^4\). Dans le cas du TL081 (composant de Texas Instrumentsdoc technique), on trouve cette information sous l’appellation \(A_{VD}\) – Large-signal differential voltage amplification (p. 6/58 de la documentation technique). \(A_{VD} > 15~\textrm{V/mV} = 15 \cdot 10^3\).

Amplificateur Non Inverseur

On se base à présent sur la structure d’un amplificateur non-inverseur :

On appellera \(A\) l’amplification différentielle de l’ALI.

On supposera les ALI parfaits, à savoir que les courants entrants dans l’ALI sont nuls (\(i- = i+ = 0\)).

Question 2

Calculer les tensions \(V+\) et \(V-\) aux bornes de l’ALI.

Correction

\(V+ = V_E\)

\(V- = V_S \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2}\) (pont diviseur)

Question 3

Calculer alors la relation entre \(V_S\) et \(V_E\).

Correction

$$V_S = A \cdot (V+ – V-)$$

On obtient alors : \(V_S = A \cdot (V_E – V_S \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2})\)

Ainsi : \(A \cdot V_E = V_S \cdot ( 1 + A \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2})\) \(\frac{V_S}{V_E} = \frac{A}{1 + A \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2}}\)

On donne souvent la relation suivante pour un amplificateur non-inverseur : \(V_S / V_E = R_2/R_1 + 1\).

Question 4

Quelle hypothèse fait-on lorsque l’on calcule cette formule ? Quand est-elle justifiée ?

Correction

L’hypothèse faite est la suivante : \(V+ = V-\).

Les potentiels d’entrée de l’ALI sont égaux lorsqu’on est en régime linéaire (c’est à dire lorsqu’il y a une rétro-action entre la sortie de l’ALI et l’entrée inverseuse par l’intermédiaire d’un dipôle – ou ensemble de dipôles).

On passe de l’expression obtenue à la question 3 à celle-ci lorsqu’on suppose que \(A \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2} >> 1\), c’est-à-dire lorsque \(A >> \frac{R_1 + R_2}{R_1}\) (voir Démonstration ci-après).

Démonstration

On souhaite montrer ici l’erreur commise sur la valeur de l’amplification entre la formule complète (incluant l’amplification différentielle) et l’approximation faite en régime linéaire, en fonction de l’amplification \(\frac{R_1 + R_2}{R_1}\) voulue sur le système.

Pour cela, on fixe \(A = 15 \cdot 10^3\) à la valeur minimale trouvée dans la documentation technique du TL081 (par exemple) et on fait varier le rapport \(\frac{R_1 + R_2}{R_1}\) de \(2\) à \(10^3\).

On peut par exemple utiliser le script Matlab suivant :

% k : amplification (R2 + R1) / R1 d'un ampli non inverseur
% A : gain de l'ALI en boucle ouverte
R2 = logspace(0, 3, 101);
R1 = 1;
A = 15e3;
k = (R2 + R1) ./ R1;

T = A ./ (1 + A ./ k);   % Fonction de transfert complète

erreur = (k - T)./k * 100;

figure;
subplot(2,1,1);
semilogx(R2./R1+1, T, R2./R1+1, k);
ylabel('Amplification');
legend('Amplification avec A','Amplification simplifiee');
title('Amplificateur non-inverseur');
subplot(2,1,2);
semilogx(R2./R1+1, erreur);
ylabel('Erreur relative (%)');
xlabel('R2/R1+1');

On obtient alors la figure suivante :

On peut voir que pour des valeurs d’amplification inférieure à 100, l’erreur commise est inférieure à 1%.

Amplificateur Inverseur

On se base à présent sur la structure d’un amplificateur inverseur :

Question 5

Calculer les tensions \(V+\) et \(V-\) aux bornes de l’ALI.

Correction

\(V- = \frac{\frac{V_S}{R_2} + \frac{V_E}{R_1}}{\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_1}}\) (théorème de Millman)

 

\(V+ = 0\)

 

\(V- = \frac{V_S \cdot R_1}{R_1 + R_2} + \frac{V_E \cdot R_1}{R_1 + R_2}\) (théorème de Millman)

Question 6

Calculer alors la relation entre \(V_S\) et \(V_E\).

Correction

\(V_S = A \cdot (V+ – V-)\)

On obtient alors : \(V_S = A \cdot (\frac{-V_S \cdot R_1 – V_E \cdot R_2}{R_1 + R_2})\)

Ainsi : \(V_S \cdot (R_1 + R_2 + A \cdot R_1) = – V_E \cdot A \cdot R_2\)

\(\frac{V_S}{V_E} = -\frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{A}{A + \frac{R_1 + R_2}{R_1}}\)

On donne souvent la relation suivante pour un amplificateur inverseur : \(V_S / V_E = – R_2/R_1\).

Question 7

Quelle hypothèse fait-on lorsque l’on calcule cette formule ? Quand est-elle justifiée ?

Correction

L’hypothèse faite est la suivante : \(V+ = V-\).

Les potentiels d’entrée de l’ALI sont égaux lorsqu’on est en régime linéaire (c’est à dire lorsqu’il y a une rétro-action entre la sortie de l’ALI et l’entrée inverseuse par l’intermédiaire d’un dipôle – ou ensemble de dipôles).

On passe de l’expression obtenue à la question 3 à celle-ci lorsqu’on suppose que \(A >> \frac{R_1 + R_2}{R_1}\) (voir Démonstration ci-après).

Démonstration

On souhaite montrer ici l’erreur commise sur la valeur de l’amplification entre la formule complềte (incluant l’amplification différentielle) et l’approximation faite en régime linéaire, en fonction de l’amplification \(\frac{R_2}{R_1}\) voulue sur le système.

Pour cela, on fixe \(A = 15 \cdot 10^3\) à la valeur minimale trouvée dans la documentation technique du TL081 (par exemple) et on fait varier le rapport \(\frac{R_2}{R_1}\) de \(2\) à \(10^3\).

On peut par exemple utiliser le script Matlab suivant :

% k : amplification (R2 + R1) / R1 d'un ampli non inverseur
% A : gain de l'ALI en boucle ouverte
R2 = logspace(0, 3, 101);
R1 = 1;
A = 15e3;
k = (R2 + R1) ./ R1;
m = -R2./R1
T = m * A ./ (A + k);

erreur = (m - T) ./ m * 100;

figure;
subplot(2,1,1);
semilogx(R2./R1, -R2./R1, R2./R1, T);
legend('Amplification avec A','Amplification simplifiee');
title('Amplificateur inverseur');
ylabel('Amplification');
subplot(2,1,2);
semilogx(R2./R1, erreur);
ylabel('Erreur relative (%)');
xlabel('R2/R1');

On obtient alors la figure suivante :

On peut voir que pour des valeurs d’amplification inférieure à 100 (en valeur absolue), l’erreur commise est inférieure à 1%.

Pour vous aider…

Pré-Amplifier / Amplificateur Intégré Linéaire