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Mots-clefs : Amplificateur Linéaire Intégré Fonctionnement linéaire
Vous trouverez des informations préalables sur les ALI sur la fiche suivante : Amplificateur Linéaire Intégré
Amplificateur Linéaire Intégré
Les Amplificateurs Linéaires Intégrés (ou ALI) sont des composants actifs, c’est-à-dire qui nécessitent une alimentation externe pour fonctionner (souvent symétrique), qui permettent d’amplifier une différence de potentiel.
Relation entrée-sortie
La relation est la suivante : \(V_S = A \cdot (V+ – V-)\) avec \(A\) l’amplification différentielle de l’ALI, où \(V+\) est la tension sur l’entrée non-inverseuse, \(V-\) la tension sur l’entrée inverseuse et \(V_S\) la tension de sortie.
Dans la documentation technique de ces composants, on peut trouver la valeur de \(A\), qu’on appelle amplification différentielle. Elle est souvent supérieure à \(10^4\). Dans le cas du TL081 (composant de Texas Instruments – doc technique), on trouve cette information sous l’appellation \(A_{VD}\) – Large-signal differential voltage amplification (p. 6/58 de la documentation technique). \(A_{VD} > 15~\textrm{V/mV} = 15 \cdot 10^3\).
Amplificateur Non Inverseur
On se base à présent sur la structure d’un amplificateur non-inverseur :
On supposera les ALI parfaits, à savoir que les courants entrants dans l’ALI sont nuls (\(i- = i+ = 0\)).
Calcul des tensions \(V+\) et \(V-\)
On peut alors calculer les valeurs des tensions \(V+\) et \(V-\) par les relations habituelles de l’électronique (lois de Kirchhoff).
\(V+ = V_E\)\(V- = V_S \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2}\) (pont diviseur)
Calcul de la tension de sortie
A partir des tensions calculées précédemment, il est alors possible de calculer la tension de sortie, en se basant sur la fonction de transfert de l’ALI.
$$V_S = A \cdot (V+ – V-)$$
On obtient alors : \(V_S = A \cdot (V_E – V_S \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2})\)
Ainsi : \(A \cdot V_E = V_S \cdot ( 1 + A \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2})\) \(\frac{V_S}{V_E} = \frac{A}{1 + A \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2}}\)
Hypothèse de calcul
On peut simplifier le calcul précédent. En effet, lorsqu’il y a une contre-réaction entre la sortie et l’entrée inverseuse, c’est à dire un lien par l’intermédiaire d’un ensemble de dipôle ou d’un fil, l’hypothèse faite est la suivante : \(V+ = V-\).
Les calculs de \(V+\) et \(V-\) restent inchangés. Mais l’expression de la sortie est simplifiée.
On trouve la relation suivante pour un amplificateur non-inverseur : $$\frac{V_S}{V_E} = \frac{R_2}{R_1} + 1$$.
On passe de l’expression obtenue au paragraphe précédent à celle-ci lorsqu’on suppose que \(A \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2} >> 1\), c’est-à-dire lorsque \(A >> \frac{R_1 + R_2}{R_1}\) (voir Démonstration ci-après).
Démonstration
On souhaite montrer ici l’erreur commise sur la valeur de l’amplification entre la formule complète (incluant l’amplification différentielle) et l’approximation faite en régime linéaire, en fonction de l’amplification \(\frac{R_1 + R_2}{R_1}\) voulue sur le système.
Pour cela, on fixe \(A = 15 \cdot 10^3\) à la valeur minimale trouvée dans la documentation technique du TL081 (par exemple) et on fait varier le rapport \(\frac{R_1 + R_2}{R_1}\) de \(2\) à \(10^3\).
On peut par exemple utiliser le script Matlab suivant :
% k : amplification (R2 + R1) / R1 d'un ampli non inverseur
% A : gain de l'ALI en boucle ouverte
R2 = logspace(0, 3, 101);
R1 = 1;
A = 15e3;
k = (R2 + R1) ./ R1;
T = A ./ (1 + A ./ k); % Fonction de transfert complète
erreur = (k - T)./k * 100;
figure;
subplot(2,1,1);
semilogx(R2./R1+1, T, R2./R1+1, k);
ylabel('Amplification');
legend('Amplification avec A','Amplification simplifiee');
title('Amplificateur non-inverseur');
subplot(2,1,2);
semilogx(R2./R1+1, erreur);
ylabel('Erreur relative (%)');
xlabel('R2/R1+1');
On obtient alors la figure suivante :
On peut voir que pour des valeurs d’amplification inférieure à 100, l’erreur commise est inférieure à 1%.
Amplificateur Inverseur
On se base à présent sur la structure d’un amplificateur inverseur :
Calcul des tensions \(V+\) et \(V-\)
On peut alors calculer les valeurs des tensions \(V+\) et \(V-\) par les relations habituelles de l’électronique (lois de Kirchhoff).
\(V- = \frac{V_S \cdot R_1}{R_1 + R_2} + \frac{V_E \cdot R_1}{R_1 + R_2}\) (théorème de Millman)
Question 6
Calculer alors la relation entre \(V_S\) et \(V_E\).
Correction
\(V_S = A \cdot (V+ – V-)\)On obtient alors : \(V_S = A \cdot (\frac{-V_S \cdot R_1 – V_E \cdot R_2}{R_1 + R_2})\)
Ainsi : \(V_S \cdot (R_1 + R_2 + A \cdot R_1) = – V_E \cdot A \cdot R_2\)
\(\frac{V_S}{V_E} = -\frac{R_2}{R_1} \cdot \frac{A}{A + \frac{R_1 + R_2}{R_1}}\)On donne souvent la relation suivante pour un amplificateur inverseur : \(V_S / V_E = – R_2/R_1\).
Question 7
Quelle hypothèse fait-on lorsque l’on calcule cette formule ? Quand est-elle justifiée ?
Correction
L’hypothèse faite est la suivante : \(V+ = V-\).
Les potentiels d’entrée de l’ALI sont égaux lorsqu’on est en régime linéaire (c’est à dire lorsqu’il y a une rétro-action entre la sortie de l’ALI et l’entrée inverseuse par l’intermédiaire d’un dipôle – ou ensemble de dipôles).
On passe de l’expression obtenue à la question 3 à celle-ci lorsqu’on suppose que \(A >> \frac{R_1 + R_2}{R_1}\) (voir Démonstration ci-après).
Démonstration
On souhaite montrer ici l’erreur commise sur la valeur de l’amplification entre la formule complềte (incluant l’amplification différentielle) et l’approximation faite en régime linéaire, en fonction de l’amplification \(\frac{R_2}{R_1}\) voulue sur le système.
Pour cela, on fixe \(A = 15 \cdot 10^3\) à la valeur minimale trouvée dans la documentation technique du TL081 (par exemple) et on fait varier le rapport \(\frac{R_2}{R_1}\) de \(2\) à \(10^3\).
On peut par exemple utiliser le script Matlab suivant :
% k : amplification (R2 + R1) / R1 d'un ampli non inverseur
% A : gain de l'ALI en boucle ouverte
R2 = logspace(0, 3, 101);
R1 = 1;
A = 15e3;
k = (R2 + R1) ./ R1;
m = -R2./R1
T = m * A ./ (A + k);
erreur = (m - T) ./ m * 100;
figure;
subplot(2,1,1);
semilogx(R2./R1, -R2./R1, R2./R1, T);
legend('Amplification avec A','Amplification simplifiee');
title('Amplificateur inverseur');
ylabel('Amplification');
subplot(2,1,2);
semilogx(R2./R1, erreur);
ylabel('Erreur relative (%)');
xlabel('R2/R1');
On obtient alors la figure suivante :
On peut voir que pour des valeurs d’amplification inférieure à 100 (en valeur absolue), l’erreur commise est inférieure à 1%.