Sommaire
Interpréter le résultat d’un calcul de FFT sur un exemple simple et motiver l’utilisation d’une fenêtre d’apodisation.
Plusieurs versions de la TF
En introduction, 4 versions de la transformée de Fourier :
tronqué.
Une étude de cas
Résolution de la TFD
On échantillonne un signal \(s(t)\) à la fréquence \(\nu_{E}=8192 \operatorname{Hz}\) pendant un temps \(T\). On obtient \(N\) échantillons.
- Quelle doit être la durée \(T\) de l’échantillonnage pour que le spectre calculé par TFD sur le nombre de points \(N\) comporte une raie par Hertz ?
\(N\) points entre 0 et \(T\) permettent d’obtenir une TFD sur \(N\) points entre 0 et \(F_{e}\). Les points de la TFD sont donc espacés de \(\Delta \nu =\frac{F_{e}}{N}=\frac{F_{e}}{T/T_{e}}=\frac{1}{T}=1\operatorname{s}\). Attention la résolution ne dépend pas de la fréquence d’échantillonnage mais seulement de la durée d’observation !
Spectre d’un sinus échantillonné
Après échantillonnage pendant la durée \(T\) et conversion en un signal numérique, la séquence \(s_{d}[n]\) obtenue est une suite de nombres de longueur \(N\). On définit alors la quantité :
\(\widetilde{s_{d}}\left( f\right) =\sum_{n=0}^{N-1}s_{d}\left[ n\right]e^{-j2\pi fn} \)
construite à partir de la séquence \(s_{d}[n]\) (elle porte le nom de TF à temps discret, c’est une fonction périodique de période 1).
- Quelle est l’allure de \(\widetilde{s_{d}}\left( f\right)\) si le signal \(s(t)\) est une sinusoïde pure, de fréquence \(\nu _{0}=1000 \operatorname{Hz}\) et d’amplitude 3 ? En déduire les raies données par le calcul de TFD dans le voisinage de \(\nu _{0}\).
Si on regarde de plus près autour de la fréquence \(\nu _{0}=1000 \operatorname{Hz}\) :
La FFT peut afficher un spectre erroné
A amplitude constante, la fréquence du signal \(s(t)\) est modifiée pour passer à \(\nu _{0}=1000.5 \operatorname{Hz}\).
- Quelle est alors l’allure des raies données par le calcul de TFD au voisinage de \(\nu _{0}\) ?
Si on affiche seulement le résultat du calcul de TFD, en reliant les points, il s’affiche alors :
- La variation observée entre les questions 2 et 3 serait-elle plus ou moins marquée si on utilisait une fenêtre plus longue ? Si on augmentait la fréquence d’échantillonnage~?
- Si la durée d’observation est augmentée
- le pic en sinus cardinal devient plus étroit,
- et le nombre de points \( N \) augmente,
- ces deux effets se compensent et on obtient la même allure de courbe.
- De même, pour une durée \( T \), si la fréquence d’échantillonnage est augmentée :
- le nombre de points \( N \) augmente,
- l’horizon de calcul de la TFD ( \( [0 F_e ]\)) augmente
- ces deux effets se compensent, et on obtient la même allure de courbe.
Utilisation d’une fenêtre d’apodisation
En raison de la troncature du signal, une FFT simple peut donc conduire à des erreurs importantes sur la mesure de l’amplitude d’un signal.
Afin d’éviter cet écueil, une solution dont disposent la plupart des appareils numériques de mesure de spectre (oscilloscope avec module de FFT par exemple) et la fonction “fenêtrage” (windowing).
Le principe de la solution est d’obtenir des raies non pas en “sinus cardinal” mais des raies plus larges ou sans rebonds.
Pour cela, on multiplie le signal par une fonction dite d’apodisation \( h[n] \)
La FFT affichée est donc celle du produit :
\( h[n] \times s_{d}[n] \)
Il existe plusieurs types de fenêtre d’apodisation. La fenêtre Flat-Top utilisée ci-dessus est celle utilisée lorsqu’on souhaite mesurer l’amplitude d’un pic avec précision.
Des fenêtres de Haming, Hanning, etc. sont utilisées lorsque la résolution est enjeu important, par exemple pour voir 2 pics proches. Leurs transformées de Fourier fournissent un compromis : peu de rebonds et étroitesse du pic central.
Les calculs permettant de retrouver en détail les résultats ci-dessus sont disponibles ici.